ここで「canonical」とは、二進法領域における要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的な二進法領域F2では、任意のkビットの文字列は直接kビットの二進法領域要素にマッピングできます。これは素数域とは異なり、素数域は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数域は32ビットに収容できますが、すべての32ビットの文字列が唯一の領域要素に対応するわけではなく、二進法領域はこの一対一のマッピングの便利さを持っています。素数域Fpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊還元方法が含まれます。二進法領域F2kにおいて、一般的な還元方法には特殊還元（AESで使用されるもの）、Montgomery還元（POLYVALで使用されるもの）、および再帰的還元（Towerのようなもの）が含まれます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』は、二進法領域は加算および乗算の演算においてキャリーを導入する必要がなく、二進法領域の平方演算が非常に効率的であることを指摘しています。なぜなら、これは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドのコンテキストでさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールドのユニークな要素として考えられるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析されることがあります。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、単にビット文字列の型変換（typecast）であり、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」は、nビットタワー型バイナリフィールド（mビットサブフィールドに分解可能）での乗算、平方、逆算の計算複雑度について探討しています。
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Binius STARKs テクニカル分析: バイナリ ドメイン最適化と革新的な PIOP 設計
Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析
1 はじめに
STARKsの非効率的な主な理由は、実際のプログラムでのほとんどの数値が小さいことです。例えば、forループのインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めることになります。たとえ元の値自体が非常に小さいとしてもです。この問題を解決するために、領域のサイズを縮小することが重要な戦略となりました。
表1に示すように、第一世代のSTARKsのコーディングビット幅は252bit、第二世代のSTARKsのコーディングビット幅は64bit、第三世代のSTARKsのコーディングビット幅は32bitですが、32bitのコーディングビット幅には依然として多数の無駄なスペースが存在します。それに対して、2進数領域はビットに直接操作を行うことを許可し、コーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。これは第四世代のSTARKsに相当します。
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表1:STARKsの進化経路
Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、2進数体の研究は1980年代に遡ります。現在、2進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のものがあります：
F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。
Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128フィールドに基づいて；
QRコード、F28に基づくリード・ソロモン符号を使用；
原始FRIとzk-STARKプロトコル、さらにSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。
より小さな体を採用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要です。そして、Biniusが使用する二進体は、その安全性と実際の可用性を保証するために完全に拡張体に依存しています。ほとんどのProver計算に関与する多項式は拡張体に入る必要がなく、基本体の下で操作するだけで、小さな体の中で高効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深く入り込む必要があります。
バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際的な問題があります：STARKsにおいてトレースを表現する際に使用するフィールドのサイズは多項式の次数よりも大きくなければならない；STARKsにおけるMerkleツリーのコミットメントでは、Reed-Solomonエンコーディングを行う必要があり、使用するフィールドのサイズはエンコーディング拡張後のサイズよりも大きくなければなりません。
Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することによって実現します。まず、多変数（具体的には多次元）多項式を単変数多項式の代わりに使用し、その値を"超立方体"（hypercubes）上で取得することで全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さは2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形（square）として捉え、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しながら、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。
2 原理分析
現在ほとんどのSNARKsシステムの構築には通常、以下の2つの部分が含まれています：
情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明（Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP）：PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。
多項式コミットメントスキーム（Polynomial Commitment Scheme, PCS）：多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立しているかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールであり、これにより証明者は特定の多項式にコミットし、後でその多項式の評価結果を検証しつつ、他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI（Fast Reed-Solomon IOPP）、およびBrakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シナリオを持っています。
具体的な要件に基づいて、異なるPIOPおよびPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば：
• Halo2：PLONK PIOPとBulletproofs PCSを組み合わせ、Pasta曲線に基づいています。Halo2の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCashプロトコルのtrusted setupを排除しています。
• Plonky2：PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocksドメインに基づいています。Plonky2は高効率の再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されるPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、信頼できる設定なしで透明性を実現できるかどうか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。
Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず第一に、バイナリフィールドのタワーに基づく算術がその計算の基礎を形成し、バイナリフィールドでの単純化された演算を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracle Proof Protocol(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保しました。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルはスモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、大規模なドメインに通常関連するオーバーヘッドを削減できます。
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2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術
タワービナリーフィールドは、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面に起因しています：効率的な計算と効率的な算術化。バイナリーフィールドは本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能に敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択肢となっています。さらに、バイナリーフィールドの構造は簡素化された算術化プロセスをサポートし、つまりバイナリーフィールド上で実行される演算はコンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加えて、タワー構造を通じてその階層的な特性を最大限に活用できる能力により、バイナリーフィールドはBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。
ここで「canonical」とは、二進法領域における要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的な二進法領域F2では、任意のkビットの文字列は直接kビットの二進法領域要素にマッピングできます。これは素数域とは異なり、素数域は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数域は32ビットに収容できますが、すべての32ビットの文字列が唯一の領域要素に対応するわけではなく、二進法領域はこの一対一のマッピングの便利さを持っています。素数域Fpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊還元方法が含まれます。二進法領域F2kにおいて、一般的な還元方法には特殊還元（AESで使用されるもの）、Montgomery還元（POLYVALで使用されるもの）、および再帰的還元（Towerのようなもの）が含まれます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』は、二進法領域は加算および乗算の演算においてキャリーを導入する必要がなく、二進法領域の平方演算が非常に効率的であることを指摘しています。なぜなら、これは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドのコンテキストでさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールドのユニークな要素として考えられるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析されることがあります。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、単にビット文字列の型変換（typecast）であり、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」は、nビットタワー型バイナリフィールド（mビットサブフィールドに分解可能）での乗算、平方、逆算の計算複雑度について探討しています。
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図 1: タワー型バイナリフィールド
2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------
BiniusプロトコルにおけるPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式および多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには次のものが含まれます：
GateCheck：秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C(x,ω)=0を満たすかどうかを検証し、回路が正しく動作することを保証します。
PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π(x))。
LookupCheck：多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを検証します。すなわち、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)であり、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。
MultisetCheck：二つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck：有理多項式がブール超立方体上で評価される値が、ある宣言された値∏x∈Hµ f(x) = sと等しいかどうかを検査し、多項式の積の正確性を確保します。
ZeroCheck：任意の点がブール超立方体上の多変数多項式がゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f(x) = 0,∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確保するため。
SumCheck：多変数多項式の和が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算複雑性を低減します。さらに、SumCheckはランダム数を導入することで、複数の和の検証インスタンスをバッチ処理することを可能にします。
BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。
Biniusは、HyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点があるにもかかわらず、以下の3つの点で改善を行いました：
ProductCheckの最適化：HyperPlonkでは、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであり、かつ積が特定の値に等しいことを要求します；Biniusはこの値を1に特化することで、チェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減しました。
ゼロ除算の処理：HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できなかったため、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言することができませんでした；Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの場合でも、BiniusのProductCheckは処理を継続でき、任意の積値への拡張を許可します。
列を越えたPermutationCheck：HyperPlonkにはこの機能はありません；Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理できるようになります。
そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することで、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの制限を解決するだけでなく、将来のバイナリフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。
2.3 PIOP: 新しいマルチリニア シフト